已知函数f(x)=x^3-ax^2+3x

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/06 01:15:16
(1)若f(x)在x?[1,+无穷)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x=3是f(x)的极值点，求f(x)在x?[1,a]上的最小值和最大值。
（求详细过程，高分求）

1
f'(x)=3x^2-2ax+3;
则在[1,+无穷)上,有f'(x)=3x^2-2ax+3≥0;
则:f'(1)=3-2a+3=6-2a≥0→a≤3
且在[1,+无穷)上,有f''(x)=6x-2a≥0.→x≥a/3.
则a/3≤1;→a≤3
实数a的取值范围是a≤3.

2
若x=3是f(x)的极值点,且f'(x)=3x^2-2ax+3连续,则
f'(3)=27-6a+3=0
则a=5.
f(x)=x^3-5x^2+3x;
f'(x)=3x^2-10x+3;
使f'(x)=3x^2-10x+3=0,则x=3或x=1/3.
而f''(x)=6x-2a=6x-10则
f''(3)=6*3-10=8>0,则x=3是f(x)的极小值;极小值f(3)=-9.
f''(1/3)=6/3-10=-8<0,则x=3是f(x)的极大值.极大值f(1/3)=13/27.
而边界:f(1)=1-5+3=-1;f(5)=125-125+15=15.
则说明:最小值是f(3)=-9;最大值是f(5)=15.